2 - Tables de verité

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1 - électronique

2 - Transistor

3 - Table NON

4 - NAND

5 - AND

6 - OR

Nous avons vu comment l'ordinateur avait été concu et pensé au fil du temps.

Nous avons vu qu'il comporte plusieurs parties indépendantes mais communicantes :

Le processeur qui contient

Unité de Contrôle (UdC) qui gère les instructions basiques
Unité Arithmétique et Logique (UAL) qui gère les calculs
des registres : de très petites mémoires mais très rapides d'accès

Une mémoire centrale

Nous allons aujourd'hui nous pencher sur la délicate question de l'action de l'UAL. Comment réaliser des tests ET, OU, des additions ... Cela nous permettra de comprendre ce qui est une action basique et simple pour un ordinateur et ce qui ne l'est pas.

Nous allons notamment parler des XOR ;

Evaluation ✎ :

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1 - Un peu d'électricité

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L'informatique est basée de nos jours sur l'électricité et plus particulièrement l'électronique.

L'un des composants matériels de base des ordinateurs est le transistor. On le trouve dans toutes les parties de ces machines.

Survolons donc rapidement les notions que vous devriez connaître, à défaut de vraiment maitriser.

L'électricité en quelques lignes : courant électrique

Un courant électrique est dû à un mouvement global d'électrons. En gros les électrons se dirigent massivement dans la même direction. C'est l'analogie du courant d'eau où les molécules d'eau se dirigent globalement dans la même direction.

L'électricité en quelques lignes : intensité électrique I(A)

On caractérise l'importance d'un courant électrique par une grandeur algébrique

qu'on nomme intensité électrique
qu'on représente par la lettre I
qu'on mesure en Ampère

Pour information, 1 A correspond au transport de plus de 6 milliards de milliards d'électrons en une seconde. Plus facile de mesurer ça en Ampère non ?

L'électricité en quelques lignes : tension électrique U(V)

Un courant électrique est constitué d'électrons. Encore faut-il leur donner envie de bouger !

C'est là qu'intervient la tension électrique entre deux points, A et B par exemple. Plus la tension électrique entre deux points est grande, plus les électrons auront tendance à se déplacer.

C'est d'ailleurs la raison physique de l'existence des éclairs lors des orages : la tension électrique entre les deux zones devient tellement grande que les électrons parviennent à se déplacer alors que l'air est normalement un isolant électrique ! Il faut dire qu'on atteint plusieurs millions de Volt.

Animation montrant un éclair qui décharge le surplus d'électrons — Eclair, animation du domaine public

Une fois les électrons déplacés, la tension repasse sous le seuil où l'air est isolant. C'est fini, jusqu'à la recharge progressive et l'arrivée du prochain éclair.

On peut donc voir la tension électrique entre deux points A et B comme une mesure de la différence de charges électriques entre le point A et le point B.

On définit pour cela la tension électrique U_AB = V_A - V_B où V_A désigne le potentiel électrique du point A.

Tensions et potentiels se mesurent en VOLT.

On peut voir le potentiel électrique V_A comme une mesure des charges électriques présentes au point A.

Ainsi une batterie possède bien

une borne + (on y trouve plus de charges électriques positives que de charges négatives) et
une borne - (on y trouve plus de charges électriques négatives que positives).

Symbole d'une pile tiré de physique-chimie-college.fr

Du coup, SI on permet aux électrons de se déplacer en plaçant un conducteur entre les deux, l'intensité électrique sera d'autant plus forte que la tension électrique est forte.

Pour information : tensions limites de danger

Le danger pour un être humain est bien la différence de tension entre deux points (main - pied par exemple).

Avec un système générant une tension continue

Milieu mouillé : sans danger si U < 30 V
Milieu humide : sans danger si U < 60 V
Milieu sec : sans danger si U < 120 V

Avec un système générant une tension alternative

Milieu mouillé : sans danger si U < 12 V
Milieu humide : sans danger si U < 25 V
Milieu sec : sans danger si U < 50 V (définition de la Très Basse Tension)

L'électricité en quelques lignes : résistance électrique R(Ω)

Un conducteur dit ohmique possède une caractéristique : il s'oppose au courant électrique sans être isolant.

On caractérise cette opposition au passage du courant continu par une grandeur algébrique

qu'on nomme résistance électrique
qu'on représente par la lettre R
qu'on mesure en Ohm (Ω)

Sur un tel conducteur, on peut utiliser la loi d'Ohm : $$U = R.I$$.

On peut déduire de la loi d'Ohm que pour une source de tension U constante, on a : $$I = \frac{U}{R}$$.

Cela veut donc dire que plus la résistance électrique est grande, plus l'intensité électrique est petite. Logique.

01° Calculer la tension nécessaire pour établir une intensité de 0,002 A à travers un résistor de 2000 Ω.

Correction ?

...CORRECTION...

U = R . I = 2000 * 0.002

U = 4 V

02° Calculer l'intensité obtenue pour une tension continue de 5V et une résistance de 40 Ω.

Correction ?

...CORRECTION...

U = R . I

U / R = I

I = 5 / 40

I = 0.125 A

2 - Transistor

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Voilà le composant principal de tout ordinateur, que ce soit dans le processeur ou dans la mémoire.

En première approximation, on peut voir le transistor comme un interrupteur. Mais pas un interrupteur commandé par une action mécanique. Non, un interrupteur commandé par une action électrique.

Image montrant plusieurs types de transistors — Des transistors, Par ArnoldReinhold — Travail personnel, CC BY-SA 3.0,

Voyez le transistor comme un composant possédant 3 bornes :

une borne (à gauche) qui sert de commande. Selon la technologie du transistor, on doit y imposer un courant ou une tension.
deux autres bornes qui servent d' "interrupteur".

Première possibilité : une commande de 5V (à gauche) :

on active la commande donc le transistor est équivalent à un interrupteur fermé.
on récupère 0V en sortie puisque le point de sortie est directement relié à la masse (en bas).

Deuxième possibilité : une commande de 0V (à gauche) :

le transistor est équivalent à un interrupteur ouvert.
pas de courant dans le résistor du haut : I = 0A, du coup, tension U de 0V aux bornes du résistor : il se comporte comme un simple fil conducteur
on récupère 5V en sortie !

Bon, et c'est quoi le rapport avec l'informatique ?

Et bien, nous venons de créer un NOT ou NON en français.

Première chose à comprendre, le 1 n'est qu'une façon de décrire l'état HAUT. On prendra par exemple toute tension supérieure à 2,5 V pour l'état HAUT.

Deuxième chose : le 0 décrit simplement l'autre état : l'état BAS. Ou toute tension inférieure à 2.5 V.

Etat	Nombre	Python	Tension
HAUT	différent de 0	True	U > 2.5 V (5V)
BAS	égal à 0	False	U < 2.5 V (0V)

Nous venons donc de voir comment l'UAL parvient à exécuter un not logique, comme dans Python :


>>> a = 12
>>> a > 5
True
 
>>> not(a > 5)
False

Du coup, si on reprend les deux possibilités de commandes mais en plaçant les états True et False, on obtient ceci :

3 - Table de vérité du NON

⇩ ⇧ ⤊

Table de vérité avec True et False

On considère une valeur booléenne d'entrée notée a.

On considère une valeur booléenne de sortie notée s.

Voici la table de vérité du NON :

Entrée a	Sortie s
VRAI	FAUX
FAUX	VRAI

Equation mathématique avec 1 et 0

Mathématiquement, cela revient à écrire : $s = \bar a$.

A quoi correspond la barre supérieure ? Elle indique qu'il faut inverser ( ou complémenter ) a.

On dit d'ailleurs que $\bar a$ est le complément de $a$ car $\bar a + a$ donne nécessairement 1.

Entrée a	Sortie s	$\bar a$
1	0	1 donne 0
0	1	0 donne 1

Suivant la façon dont une documentation est réalisée, il est parfois difficile de placer le trait supérieur. On trouve donc d'autres manières d'indiquer la complémentarité.

La complémentarité de a peut donc se noter $\bar a$ ou $a/$ ou encore $\neg a$

On notera aussi que NON(NON(a)) redonne simplement a :

$\bar {\bar a} = a$
$\neg {\neg a} = a$

D'ailleurs, sachez que ce dernier caractère ¬ possède une valeur UNICODE 172 (en base 10). On peut donc l'afficher en HTML en utilisant ¬ mais il possède également un code raccourci : ¬. Vous voyez le rapprochement ?

Dernière chose : le symbole d'un NON dans un shéma :

Symbole dans un schéma :

Le symbole est simple : on note 1 à l'intérieur de la boîte qui ne possède qu'une entrée unique a. Pour indiquer qu'on inverse la sortie par rapport au OUI, on rajoute un rond ou une barre oblique sur la sortie.

On trouve également le symbole suivant qui correspond à la norme ANSI américaine ::

Schéma du NON ANSI : un TRIANGLE avec un point au bout — NON ANSI, image dans le domaine public, réalisée par jjbeard, récupérée sur Wikipedia

Le NON est donc facile à réaliser avec un transistor et est assez facile à comprendre.

Mais une table de vérité est plus visuelle.

Entrée a	Sortie s	$\bar a$ ou $\neg a$
1	0	1 donne 0
0	1	0 donne 1

4 - NON ET ou NAND

⇩ ⇧ ⤊

Passons au second circuit très facilement réalisable : le NON-ET en français. NAND en anglais.

Sa réponse ? L'inverse du ET ! En Python, une fonction NAND maison, ça pourrait être ceci :

1
2

def nand(a,b):
    return not(a and b)

03° Compléter la table de vérité du NON-ET :

Valeur de a	Valeur de b	a ET b	NON(a ET b)
VRAI	VRAI	VRAI	FAUX
FAUX	VRAI	?	?
VRAI	FAUX	?	?
FAUX	FAUX	?	?

Correction ?

...CORRECTION...

Valeur de a	Valeur de b	a ET b	NON(a ET b)
VRAI	VRAI	VRAI	FAUX
FAUX	VRAI	FAUX	VRAI
VRAI	FAUX	FAUX	VRAI
FAUX	FAUX	FAUX	VRAI

Et pourquoi parler du NON-ET alors que nous n'avons pas encore vu la table du ET tout court !

Simplement car il est très facile de réaliser un NON-ET (NAND en anglais) à partir de deux transisors :

Le cas avec les deux entrées à VRAI :

La sortie est donc à 0V puisqu'on relie la masse et la sortie avec un fil conducteur.

Le cas avec une seule entrée à VRAI :

On rappelle qu'on remplace ici le résistor par un fil car $U = R.I$ : aucun courant ne passe donc I = 0 donc U = 0 aux bornes du résistor. C'est comme un fil.

La sortie est donc à 5V puisqu'on relie la sortie au 5V par un fil.

Table de vérité de NAND / NON-ET

Valeur de a	Valeur de b	a AND b	a NAND b
VRAI	VRAI	VRAI	FAUX
FAUX	VRAI	FAUX	VRAI
VRAI	FAUX	FAUX	VRAI
FAUX	FAUX	FAUX	VRAI

Equation mathématique

Le NON-ET est l'inverse du ET. Son complément. Si on sait écrire mathématiquement un ET logique, on sait donc écrire un NON-ET.

D'un point de vue logique 0 et 1, le ET peut s'écrire ainsi : $a.b$

En effet, il n'y a que dans le cas où $a=1$ ET $b=1$ qu'on peut avoir $a.b = 1.1 = 1$. Dans tous les autres cas, c'est 0.

Du coup; le NAND est l'inverse systématique du AND. C'est donc le complément du ET : $\overline{a.b}$

Valeur de a	Valeur de b	$\overline{a.b}$
VRAI	VRAI	FAUX
FAUX	VRAI	VRAI
VRAI	FAUX	VRAI
FAUX	FAUX	VRAI

Pour information : Symbole dans un schéma logique

On symbolise le NON-ET comme une porte logique ET en rajoutant le cercle symbolisant qu'on complémente (inverse) l'état de sortie.

On trouve également le symbole suivant qui correspond à la norme ANSI américaine :

Schéma du NAND ANSI : un AND avec un point au bout — NAND ANSI, image dans le domaine public, réalisée par jjbeard, récupérée sur Wikipedia

5 - ET AND

⇩ ⇧ ⤊

Nous avons déjà rencontré le ET lors des activités Python. D'ailleurs, vous avez dû l'utiliser pour comprendre le NON-ET du coup.

04° Compléter la table de vérité du ET :

Valeur de a	Valeur de b	a ET b
VRAI	VRAI	?
FAUX	VRAI	?
VRAI	FAUX	?
FAUX	FAUX	?

Cela revient à chercher cela avec Python :

a and b

Cela revient à chercher cela avec Javascript, C, C++ :

a && b

Correction ?

...CORRECTION...

Valeur de a	Valeur de b	a ET b
VRAI	VRAI	VRAI
FAUX	VRAI	FAUX
VRAI	FAUX	FAUX
FAUX	FAUX	FAUX

05° Compléter la table de vérité du ET avec 3 entrées :

Valeur de a	Valeur de b	Valeur de c	a ET b ET c
VRAI	VRAI	VRAI	?
FAUX	VRAI	VRAI	?
VRAI	FAUX	VRAI	?
FAUX	FAUX	VRAI	?
VRAI	VRAI	FAUX	?
FAUX	VRAI	FAUX	?
VRAI	FAUX	FAUX	?
FAUX	FAUX	FAUX	?

Cela revient à chercher cela avec Python :

a and b and c

Cela revient à chercher cela avec Javascript, C, C++ :

a && b && c

Correction ?

...CORRECTION...

Valeur de a	Valeur de b	Valeur de c	a ET b ET c
VRAI	VRAI	VRAI	VRAI
FAUX	VRAI	VRAI	FAUX
VRAI	FAUX	VRAI	FAUX
FAUX	FAUX	VRAI	FAUX
VRAI	VRAI	FAUX	FAUX
FAUX	VRAI	FAUX	FAUX
VRAI	FAUX	FAUX	FAUX
FAUX	FAUX	FAUX	FAUX

Evaluation paresseuse

Dans certains langages de programmation, dont Python, on dit que l'évaluation des expressions logiques est paresseuse.

Qu'est-ce que cela veut-dire pour un ET ?

Simplement qu'on évalue l'expression de gauche à droite.

Dès qu'on rencontre un terme qui est FAUX, on arrête d'évaluer : la réponse est nécessairement FAUX !

Sur l'exemple du ET à 3 entrées, on aurait ceci :

Valeur de a	Valeur de b	Valeur de c	a ET b ET c
VRAI	VRAI	VRAI	VRAI
VRAI	VRAI	FAUX	FAUX
VRAI	FAUX	Peu importe	FAUX
VRAI	FAUX	Peu importe	FAUX
FAUX	Peu importe	Peu importe	FAUX
FAUX	Peu importe	Peu importe	FAUX
FAUX	Peu importe	Peu importe	FAUX
FAUX	Peu importe	Peu importe	FAUX

CONCLUSION : l'ordre dans lequel on évalue les choses peut rendre l'évaluation d'un ET long ou rapide ! Provoquer une erreur ou pas.

06° On veut évaluer si la case d'indice 5 d'un tableau est supérieure à 10 en Python , sans être certain que le tableau possède bien 6 cases. Quelle proposition est adaptée :

(len(t) >= 6) AND (t[5] > 10)
(t[5] > 10) AND (len(t) >= 6)

Correction ?

...CORRECTION...

Clairement la réponse A.

Si on applique A et que la longueur n'est pas de 6 au moins, on n'évalue que la première partie. Comme elle est False, on ne regarde même pas la suite. Et donc on ne provoque pas d'erreur.

Avec la B, on provoquerait immédiatement une erreur si on tentait de lire l'indice 6 d'un tableau qui ne possède pas d'indice 6.

Equation mathématique

D'un point de vue logique 0 et 1, le ET peut s'écrire ainsi : a . b

Valeur de a	Valeur de b	a . b
1	1	1
0	1	0
1	0	0
0	0	0

07° Comment peut-on représenter a ET b ET c avec une équation logique ?

Correction ?

...CORRECTION...

s = a . b . c

Pour information : Symbole dans un schéma logique

On symbolise le ET comme un carré avec un &, sans le cercle en sortie !

On trouve également le symbole suivant qui correspond à la norme ANSI américaine :

Schéma du AND ANSI : un AND — AND ANSI, image dans le domaine public, réalisée par jjbeard, récupérée sur Wikipedia

Propriété : associativité

On notera qu'on peut vérifier facilement la propriété d'associativité du ET : on peut calculer s = a . b . c comme on le veut.

s = a . b . c = (a . b) . c = a . (b . c)

En commençant par a ET b : ( a . b ) . ( c )

En commençant par b ET c : ( a ) . ( b . c )

Commutativité

On notera d'ailleurs qu'on peut vérifier facilement la commutativité du ET.

Il s'agit de la propriété qui précise que a ET b est identique à b ET a.

Mathématiquement, cela donne s = a . b = b . a

Un cas pratique avec un programme Python qui doit vérifier qu'une note est bien supérieure ou égale à 0 ET inférieure ou égale à 20 :

>>> note = 14

>>> a = note >= 0

>>> b = note <= 20

>>> print (a and b)

True

>>> print(b and a)

True

Attention néanmoins à la notion d'expression paresseuse : on peut commuter, ça ne change rien mathématiquement. Par contre, cela peut permettre de ne faire certains calculs que si la première condition est bien satisfaite !

6 - OU OR

⇩ ⇧ ⤊

Nous avons déjà rencontré le OU lors des activités Python.

08° Compléter la table de vérité du OU :

Valeur de a	Valeur de b	a OU b
VRAI	VRAI	?
FAUX	VRAI	?
VRAI	FAUX	?
FAUX	FAUX	?

Cela revient à chercher cela avec Python :

a or b

Cela revient à chercher cela avec Javascript, C, C++ :

a || b

Correction ?

...CORRECTION...

Valeur de a	Valeur de b	a OU b
VRAI	VRAI	VRAI
FAUX	VRAI	VRAI
VRAI	FAUX	VRAI
FAUX	FAUX	FAUX

09° Compléter la table de vérité du OU avec 3 entrées :

Valeur de a	Valeur de b	Valeur de c	a OU b OU c
VRAI	VRAI	VRAI	?
FAUX	VRAI	VRAI	?
VRAI	FAUX	VRAI	?
FAUX	FAUX	VRAI	?
VRAI	VRAI	FAUX	?
FAUX	VRAI	FAUX	?
VRAI	FAUX	FAUX	?
FAUX	FAUX	FAUX	?

Cela revient à chercher cela avec Python :

a or b or c

Cela revient à chercher cela avec Javascript, C, C++ :

a || b || c

Correction ?

...CORRECTION...

Valeur de a	Valeur de b	Valeur de c	a OU b OU c
VRAI	VRAI	VRAI	VRAI
FAUX	VRAI	VRAI	VRAI
VRAI	FAUX	VRAI	VRAI
FAUX	FAUX	VRAI	VRAI
VRAI	VRAI	FAUX	VRAI
FAUX	VRAI	FAUX	VRAI
VRAI	FAUX	FAUX	VRAI
FAUX	FAUX	FAUX	FAUX

Evaluation paresseuse

Qu'est-ce que cela veut-dire pour un OU ? dans Python ?

Simplement qu'on évalue l'expression de gauche à droite.

Dès qu'on rencontre un terme qui est VRAI, on arrête d'évaluer : la réponse est nécessairement VRAI !

CONCLUSION : l'ordre dans lequel on évalue les choses peut rendre l'évaluation d'un OU long ou rapide ! Provoquer une erreur ou pas.

10° On veut évaluer a OR b.

La variable a à 80% d'être True et b à 10% d'être True. Vaut-il mieux utiliser a OR b ou b OR a ?

Equation mathématique

D'un point de vue logique 0 et 1, le OU peut s'écrire ainsi : a + b

Valeur de a	Valeur de b	a + b
1	1	1 (VRAI ou VRAI donne VRAI, pas 2 !)
0	1	1
1	0	1
0	0	0

11° Comment peut-on représenter a OU b OU c avec une équation logique ?

Correction ?

...CORRECTION...

s = a + b + c

Pour information : Symbole dans un schéma logique

On symbolise le OU comme un carré avec >=1 sans le cercle en sortie !

Pourquoi >=1 : (VRAI ou VRAI donne VRAI, pas 2 !). Attention, ce n'est pas une addition binaire mais une représentation mathématique de la logique VRAI / FAUX. En réalité, on peut considérer que tout ce qui n'est pas 0 est donc VRAI !

On trouve également le symbole suivant qui correspond à la norme ANSI américaine :

Schéma du OR ANSI : un OR — OR ANSI, image dans le domaine public, réalisée par jjbeard, récupérée sur Wikipedia

Propriété : associativité

On notera qu'on peut vérifier facilement la propriété d'associativité du OU : on peut calculer s = a + b + c

En commençant par a OU b : ( a + b ) + ( c )

En commençant par b OU c : ( a ) + ( b + c )

Propriété : commutativité

On notera d'ailleurs qu'on peut vérifier facilement la commutativité du OU.

Il s'agit de la propriété qui précise que a OU b est identique à b OU a.

Mathématiquement, cela donne s = a + b = b + a

Activité publiée le 01 03 2020
Dernière modification : 01 03 2020
Auteur : ows. h.

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Entrée a	Sortie s	\(\bar a\) ou \(\neg a\)
1	0	1 donne 0
0	1	0 donne 1