1 - Binaire, octet et stockage
Langage haut-niveau : ne pas se soucier de la réalité du stockage
2 mois en NSI est pas un mot sur le binaire pour l'instant. Pourquoi ? Simplement car Python et Javascript sont des langages dits "de haut-niveau" : ils sont conçus pour que le programmeur n'ai pas besoin de se soucier de la façon dont les données sont réellement gérées physiquement.
Le programmeur parle à l'interpréteur Python.
L'interpréteur Python traduit et parle en langage machine.
On peut dire que l'interpréteur joue le rôle d'interface entre les deux mondes.
Langage bas-niveau : gestion du stockage réel des données
Au niveau électronique physique, l'ordinateur stocke les données sous forme d'octets.
Un système informatique ne sait que stocker des 0 ou des 1 .
Il faut donc savoir passer d'une représentation décimale (base 10) à une représentation binaire (base 2).
Encore faut-il savoir comment cela fonctionne...
C'est le principe de cette première activité.
Et si on ne sait pas comment ça fonctionne, c'est grave ?
Dans 99% des cas, non. Les langages de haut niveau permettent même de programmer sans jamais faire de binaire. D'ailleurs, la preuve : vous n'en avez pas fait une ligne depuis le début de l'année !
Mais, parfois, ça tourne mal...
Cette image en est la preuve :
Logiciel nécessaire pour l'activité : Arduino, la bibliothèque Makeblock et un robot, uniquement si vous voulez reproduire l'expérience d'introduction.
Exercices corrigés complémentaires de cours : exos
Documents de cours : open document ou pdf
Présentation de cours : open document ou pdf
1 - Exemple d'introduction
Introduction : Magie !
Magie Magie : open document ou pdf
Introduction : Bug !
Regardons ce petit programme Arduino (proche du C++) qu'on va appliquer à un robot Makeblock, compatible Arduino.
Le but est de le faire tourner sur lui-même de plus en plus rapidement.
Nous n'analyserons pas en détail le code. Si vous voulez en savoir plus sur ce langage, allez voir l'annexe.
Comment commander un robot qui possède deux systèmes de motorisation, un à gauche et un à droite pour qu'il tourne sur lui-même ?
Avec le système Makeblock, c'est facile :
- Si on commande chaque moteur avec une vitesse positive, le robot va avancer.
- Si on commande chaque moteur avec une vitesse négative, le moteur va reculer.
- Et finalement, si on commande les deux moteurs avec une même valeur mais l'une positive et l'autre négative, le robot va tourner sur lui-même !
motor_gauche.run(vitesse);
motor_droit.run(vitesse);
motor_gauche.run(-vitesse);
motor_droit.run(-vitesse);
motor_gauche.run(vitesse);
motor_droit.run(-vitesse);
Et comment augmenter progressivement la vitesse de 1 toutes les 200 ms (soit 0.2s) ?
Simplement en faisant une boucle FOR partant de 0 et s'arrêtant à 499 par exemple :
En Python, ca donnerait cela :
for vitesse in range(0, 500, 1):
motor_gauche.run(vitesse)
motor_droit.run(-vitesse)
delay(200)
Mais en C++, ça donne ça :
for (byte vitesse = 0; vitesse < 500 ; vitesse++) {
motor_gauche.run(vitesse);
motor_droit.run(-vitesse);
delay(200);
}
On notera que la boucle FOR se code différement qu'en Python mais qu'on retrouve dans l'ordre :
- la valeur initiale : vitesse = 0
- La valeur extrême qu'on ne pourra pas atteindre : vitesse < 500. Comme on a noté strictement inférieur, la vitesse atteindra 499, pas 500.
- L'augmentation de 1 à chaque tour de boucle : vitesse++. C'est une façon d'écrire vitesse = vitesse + 1
L'une des grosses différences du C (et d'Arduino) par rapport à Python est qu'on doit impérativement fournir le type de la variable qu'on est en train de créer. Ici, j'ai choisi de stocker mes entiers dans une variable de type byte. Dans ce contexte, celui correspond à un octet. Nous verrons ce que cela représente dans cette activité.
Finalement, comment afficher la valeur de la variable vitesse lors de chaque bouclage ?
En lisant la documentation, on se rend compte qu'il existe une méthode permettant d'agir sur les afficheurs : la méthode display.
for (byte vitesse = 0; vitesse < 500 ; vitesse++) {
motor_gauche.run(vitesse);
motor_droit.run(-vitesse);
afficheur.display(vitesse);
delay(200);
}
Alors ça marche ce code ?
Si vous n'avez pas la possibilité d'avoir ce robot, voici un exemple de fonctionnement
Et oui. Ca ne marche pas !
La réalité physique vient d'interagir avec nos instructions qui sont censées fonctionner, mais non...
On constate que
- Déjà, j'ai du mal à trouver mon bouton. Bon ça, c'est pas grave.
- Ensuite, le moteur patine à faible vitesse. C'est normal aussi. Il ne parvient pas à contrer les frottements statiques si on ne fournit pas assez de puissance.
- Par contre, il va bien de plus en plus vite mais s'arrête à 255 !
- Et le compteur repart à 0 ! Et ensuite, c'est la boucle infinie alors qu'on a une boucle bornée POUR !
2 - Le décimal : la base 10
Vous allez sans doute vous demander pourquoi revoir quelque chose d'aussi basique et trivial. Et bien, c'est justement cela le problème.
Vous avez acquis assez de maîtrise sur les calculs sur cette base pour les réaliser sans avoir à vous demander consciemment comment cela fonctionne.
Mais nous allons avoir besoin de ce fonctionnement interne de la base 10 pour comprendre
- la base 2 (le binaire)
- La base 16 (l'hexadécimal)
1er partie : les cases (unité, dizaine, centaine)...
Voyons comment fonctionne le décodage d'un nombre en base 10 ainsi que l'addition.
2.1 - Poids des cases en décimal
Si j'écris M = 3 4 2 9 , je fais ceci en réalité dans ma tête :
| Nombre M = | 3 | 4 | 2 | 9 |
| Le poids de cette case est | 1000 | 100 | 10 | 1 |
| On obtient donc | 3000 | 400 | 20 | 9 |
D'où la valeur de M en base 10 : M = 3000 + 400 + 20 +9 = 3429 .
On remarquera que :
- le poids de la case de droite est 1 puis
- le poids de chaque case à gauche est dix fois plus grand à chaque fois qu'on décale.
IMPORTANT : on remarquera que la case de poids le plus faible ( 1 ) est située à droite.
2.2 - Que peut-on mettre dans les cases en décimal ?
Des chiffres.
Combien et lesquels ?
Base 10 donc 10 CHIFFRES :
2.3 - Poids de case en puissance de 10
On peut écrire facilement le poids des cases en utilisant les puissances de 10 :
| Le poids de cette case est | 1000 | 100 | 10 | 1 |
| qu'on peut écrire sous la forme | 103 | 102 | 101 | 100 |
- 100 = 1
- 101 = 10
- 102 = 10*10 = 100
- 103 = 10*10*10 = 1000
- 106 = 10*10*10*10*10*10 = 1 000 000 (un million)
- 109 = 10*10*10*10*10*10*10*10*10 = 1 000 000 000 (un milliard)
- ...
2e partie : l'addition
Comment fonctionne l'addition ? Pourquoi 9+1 donne 10 ? On se le demande, non ?
En réalité, il y a une logique interne à toutes les additions. La plupart des gens l'ont oublié car on n'a pas réellement besoin d'avoir cette connaissance en tête pour faire l'addition.
Jusqu'à 8, il n'y a pas de difficulté, il suffit de connaître le successeur dans la liste des 10 CHIFFRES disponibles en BASE 10.
2.4 - Méthode à utiliser pour incrémenter (rajouter 1)
- SI le chiifre de la case qu'on tente d'incrémenter possède un SUCCESSEUR, on remplace le chiffre par son successeur dans la suite des chiffres disponibles
- SINON, c'est que la case contient le dernier chiffre ( 9 ici) et qu'il n'a pas de successeur. On change donc de procédé :
- on revient au premier chiffre ( 0 ) dans cette case ET
- on rajoute +1 dans la case juste à gauche (on rajoute une retenue).
Exemple visuel : quel est le successeur de 399 ?
D'autres exemples ?
Exemple 1 : le successeur de 8 ?
| Nombre de base | 8 | |
| Si on rajoute 1 à l'unité | +1 | |
| on obtient | 9 |
...EXPLICATION...
On peut augmenter le chiffre de l'unité 8 en le faisant juste passer au chiffre suivant : 9 .
Exemple 2 : le successeur de 9 ?
| Nombre de base | 9 | |
| Si on rajoute 1 à l'unité | +1 | +1 |
| on obtient | 1 | 0 |
...EXPLICATION...
On ne peut augmenter le chiffre de l'unité qui est déjà à 9 .
On la passe donc à 0 ET on incrémente la case juste à gauche.
La case des dizaines était initialement à 0 : elle passe donc à 1 .
Exemple 3 : le successeur de 13 ?
| Nombre de base | 1 | 3 |
| Si on rajoute +1 à l'unité | +1 | |
| on obtient | 1 | 4 |
...EXPLICATION...
On peut augmenter le chiffre de l'unité 3 en le faisant juste passer au chiffre suivant : 4 .
Exemple 4 : le successeur de 399 ?
| Nombre de base | 3 | 9 | 9 |
| Si on rajoute 1 à l'unité | +1 | +1 | +1 |
| on obtient | 4 | 0 | 0 |
...EXPLICATION...
On ne peut augmenter le chiffre qui est déjà à 9 .
On la passe donc à 0 ET on incrémente la case juste à gauche.
La case des dizaines était initialement à 9 : elle passe donc à 0 également et on va devoir augmenter de 1 la case suivante, la case des centaines.
Le chiffre des centaines 3 passe donc à 4 .
3e partie : Nombres de cas dénombrables
Si on ne possède qu'une case ? à remplir, on peut donc définir 10 valeurs de 0 à 9 .
Comme le premier cas est numéroté 0, on a bien 9+1 = 10 valeurs possibles.
Si on dispose de 2 cases ?? à remplir, on peut définir 100 valeurs de 00 à 99 .
Comme le premier cas est numéroté 0, on a bien 99+1 = 100 valeurs possibles.
Si on dispose de 3 cases ??? à remplir, on peut définir 1000 valeurs de 000 à 999 .
Comme le premier cas est numéroté 0, on a bien 999+1 = 1000 valeurs possibles.
On voit bien qu'il y a une généralisation à trouver. Laquelle ?
Je vous laisse chercher un peu ...
Et la réponse est :
2.5 - Nombre de cas dénombrables en base 10 (système décimal)
- Nombre de cas disponibles : en décimal, si on dispose de X cases pouvant accueillir un des 10 chiffres de la base 10, le nombre de valeurs possibles est 10X.
- Valeur minimale : 0
- Valeur maximale : dans la mesure où le premier cas est 0, la valeur maximale est donc 10X - 1
Exemple : si on dispose de 9 cases
- Le nombre de possibilités est 109 = 10*10*10*10*10*10*10*10*10 = 1 000 000 000
- On peut alors stocker des valeurs partant de 0 jusqu'à 999 999 999.
On a donc un milliard de possibilités mais on ne peut pas compter jusqu'à précisement un milliard puisque le cas 0 existe.
Bilan sur la base 10 (décimal)
Résumé décimal
- Que peut-on mettre dans les cases d'un nombre en base 10 ?
- Poids des cases en utilisant les puissances de 10 :
- Méthode à utiliser pour incrémenter de 1 (trouver le successeur)
- SI le chiifre de la case qu'on tente d'incrémenter possède un SUCCESSEUR, on remplace le chiffre par son successeur dans la suite des chiffres disponibles
- SINON, on utilise ce procédé :
- on revient au premier chiffre ( 0 ) dans cette case ET
- on rajoute +1 dans la case juste à gauche (on rajoute une retenue).
- Nombre de valeurs disponibles en base 10
- Le nombre de possibilités est 103 = 10*10*10 = 1 000
- On peut alors stocker des valeurs partant de 0 jusqu'à 999.
Des chiffres. Combien et lesquels ?
| Le poids de cette case est | 1000 | 100 | 10 | 1 |
| qu'on peut écrire sous la forme | 103 | 102 | 101 | 100 |
Nombre de cas disponibles : 10X.
Valeur maximale : 10X - 1
Exemple avec 3 cases
3 - Le binaire : la base 2
Si vous avez compris comment fonctionne la base 10, vous avez compris la base 2 puisque c'est plus simple : il n'y a que deux chiffres possibles 0 ou 1 !
Si on ouvre une clé USB, on peut voir ceci : pas facile de voir les 0 ou les 1 .
Par contre, dans les premiers ordinateurs, les 0 et les 1 des programmes étaient stockés sur des cartes perforées : c'était plus simple à visualiser : c'est perforé ou non perforé. Deux états physiques bien visibles.
Première partie : les bits
Voyons comment fonctionne le décodage d'un nombre en base 2 ainsi que l'addition.
Il suffit de transformer ce que nous avons vu avec la base 10.
Première modification : nom et contenu des cases
3.1 - Que peut-on mettre dans les cases d'un nombre en base 2 ?
Chaque case se nomme un BIT, mot qui provient de la contraction de BINARY DIGIT.
Que peut-on placer dans un bit ? Des chiffres.
Combien et lesquels ? Base 2 donc 2 CHIFFRES :
Deuxième modification : le poids des cases
3.2 - Poids des bits
Le bit de poids faible est toujours à droite.
On peut facilement trouver le poids des cases en utilisant les puissances de 2 puisqu'on multiplie par deux à chaque fois qu'on décale vers la gauche :
| Le poids de cette case est | 8 | 4 | 2 | 1 |
| qu'on peut écrire sous la forme | 23 | 22 | 21 | 20 |
- 20 = 1
- 21 = 2
- 22 = 2*2 = 4
- 23 = 2*2*2 = 8
- 24 = 2*2*2*2 = 16
- 25 = 2*2*2*2*2 = 32
- ...
Exemple 1
Si j'écris un nombre à 4 bits M = 1 0 1 1 , je dois faire ceci pour trouver la valeur de ce nombre en base 10 :
| Nombre M = | 1 | 0 | 1 | 1 |
| Le poids de cette case est | 8 | 4 | 2 | 1 |
| On obtient donc | 8 | 0 | 2 | 1 |
D'où la valeur de M en base 10 : M = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 .
Exemple 2
Si j'écris un nombre à 4 bits M = 1 1 0 0 , je dois faire ceci pour trouver la valeur de ce nombre en base 10 :
| Nombre M = | 1 | 1 | 0 | 0 |
| Le poids de cette case est | 8 | 4 | 2 | 1 |
| On obtient donc | 8 | 4 | 0 | 0 |
D'où la valeur de M en base 10 : M = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 .
01° Déterminer la valeur en base 10 des nombres A, B, C, D fournis en binaire :
- Nombre A
- Nombre B
- Nombre C
- Nombre D
| Nombre A = | 1 | 0 | 0 | 0 |
| Le poids de cette case est | 8 | 4 | 2 | 1 |
| On obtient donc | ? | ? | ? | ? |
| Nombre B = | 0 | 0 | 1 | 0 |
| Le poids de cette case est | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Nombre C = | 0 | 1 | 1 | 0 |
| Nombre D = | 1 | 1 | 1 | 0 |
...CORRECTION...
A = 8 + 0 + 0 + 0 = 8 en base 10
B = 0 + 0 + 2 + 0 = 2 en base 10
C = 0 + 4 + 2 + 0 = 6 en base 10
D = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 en base 10
3.3 - Notation des bases
C'est un peu bizarre d'écrire que 1100 = 12 ou que 1011 = 11 non ?
Le problème vient du fait qu'un nombre en base 10 peut très bien ne contenir que des 1 et 0. Mille par exemple : 1000.
Or 1000 pourrait également représenter un nombre en base 2.
| Nombre M = | 1 | 0 | 0 | 0 |
| Le poids de cette case est | 8 | 4 | 2 | 1 |
| On obtient donc | 8 | 0 | 0 | 0 |
D'où la valeur de M en base 10 : M = 8 + 0 + 0 + 0 = 8 .
On voit donc qu'il faudrait noter (1000 en base 2) vaut (8 en base 10).
Pour rendre les choses plus claires, on devrait noter la base utilisée lorsqu'on note un nombre. Une notation courante consiste à indiquer la base en indice, avec ou sans parenthèses.
- N = 1000 2 = (1000) 2 = 8 10 = (8) 10
Le décimal (base 10) étant notre base naturelle, nous avons pris l'habitude de ne pas préciser lorsqu'on fournit un nombre dans cette base. On retrouve assez souvent cette façon de faire dans les textes :
- 10002 = 8
Sous entendu, 8 en base 10 puisqu'on ne précise pas la base.
A titre d'exemple final, voilà la correction de l'exercice 1 en utilisant ces notations :
A = 1000 2 = ( 8 + 0 + 0 + 0 ) 10 = 8
B = 0010 2 = ( 0 + 0 + 2 + 0 ) 10 = 2
C = 0110 2 = ( 0 + 4 + 2 + 0 ) 10 = 6
C'est déjà plus clair.
2e partie :Incrémentation et addition
Alors ça fonctionne comment l'addition ? Pourquoi 1 2 + 1 2 donne 10 2 ? On se le demande, non ?
Jusqu'à 1, il n'y a pas de difficulté, il suffit de suivre la liste des CHIFFRES disponibles : 0 puis 1 .
3.4 - Incrémenter en binaire (rajouter 1)
Lorsqu'on veut rajouter 1 dans une cases, la case a deux valeurs de départ, donc il y a deux à gérer ;
- Un 0 devient son successeur 1
- Un 1 étant le dernier chiffre en base 2, on repasse à 0 en rajoutant une retenue 1 dans la case juste à gauche.
Utiliser une base différente de 10 ne change rien à la "logique" des nombres. Après III choses, il y a encore IIII choses quelque soit la façon dont on exprise III et IIII choses.
C'est comme l'idée d'un chat. Le fait de dire "cat" en anglais ne change rien à l'idée derrière "chat" en Français ou "gato" en Espagnol ou "Katze" en Allemand ou encore "猫" en Japonais...
Quelques exemples
Exemple 1 : le successeur de 02 ?
| Nombre de base | 0 | |
| Si on rajoute +1 à l'unité | +1 | |
| on obtient | 1 |
...EXPLICATION...
On peut augmenter le chiffre de l'unité 0 en le faisant juste passer au chiffre suivant : 1 .
Exemple 2 le successeur de 12 ?
| Nombre de base | 1 | |
| Si on rajoute +1 à l'unité | +1 | +1 |
| on obtient | 1 | 0 |
...EXPLICATION...
On ne peut augmenter le chiffre de l'unité qui est déjà à 1 .
On le repasse donc à 0 ET on incrémente la case juste à gauche.
La case des "dizaines" était initialement à 0 : elle passe donc à 1 .
Exemple 3 le successeur de 102 ?
| Nombre de base | 1 | 0 |
| Si on rajoute +1 à l'unité | +1 | |
| on obtient | 1 | 1 |
...EXPLICATION...
On peut augmenter le chiffre de l'unité 0 en le faisant juste passer au chiffre suivant : 1 .
Exemple 4 le successeur de 112 ?
| Nombre de base | 1 | 1 | |
| Si on rajoute +1 à l'unité | +1 | +1 | +1 |
| on obtient | 1 | 0 | 0 |
...EXPLICATION...
On ne peut augmenter le chiffre du bit de poids faible qui est déjà à 1 .
On le passe donc à 0 ET on incrémente la case juste à gauche.
La case suivante était initialement à 1 : elle passe donc à 0 également et on va devoir augmenter de 1 la case suivante.
Le chiffre de la case la plus à gauche 0 passe donc à 1 .
02° Compléter la séquence de nombres binaires de 000 à 111 en incrémentant le nombre précédent de 1 à chaque fois (vous pouvez modifier les valeurs dans les cases vides ? en cliquant sur le caractère.
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
1 |
1 |
1 |
...CORRECTION...
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1 |
1 |
3e partie : nombres de cas possibles
Si on possède une case ? à remplir, on peut donc définir 2 valeurs de 0 à 1 .
Comme le premier cas est numéroté 0, on a bien 1+1 = 2 valeurs possibles.
Si on dispose de 2 cases ?? à remplir, on peut définir des valeurs de 00 à 11 .
Comme le premier cas est numéroté 0, on a bien 3+1 = 4 valeurs possibles :
- Cas 0 : 00
- Cas 1 : 01
- Cas 2 : 10
- Cas 3 : 11
Si on dispose de 3 cases ??? à remplir, on peut définir des valeurs de 000 à 111 .
Comme le premier cas est numéroté 0, on a bien 7+1 = 8 valeurs possibles.
- Cas 0 : 000
- Cas 1 : 001
- Cas 2 : 010
- Cas 3 : 011
- Cas 4 : 100
- Cas 5 : 101
- Cas 6 : 110
- Cas 7 : 111
On voit bien qu'il y a une généralisation à trouver. Laquelle ?
Je vous laisse chercher un peu ...
Et la réponse est :
3.5 - Nombre de cas dénombrables en base 2
Nombre de cas possibles avec X bits : le nombre de valeurs possibles est 2X.
Valeur maximale avec X bits : dans la mesure où le premier cas est 0, la valeur maximale est donc 2X - 1
Exemple : si on dispose de 8 bits
- Le nombre de possibilités est 28 = 256
- On peut alors stocker des valeurs partant de 0 jusqu'à 255.
Bilan sur la base 2 (binaire)
Résumé binaire - base 2
- Que peut-on mettre dans les cases d'un nombre en base 2 ?
- On peut facilement trouver le poids des cases en utilisant les puissances de 2 :
- Méthode à utiliser pour incrémenter (rajouter 1)
- Si le bit est à 0 , on le place à 1 .
- Si le bit est à 1 , il s'agit du dernier chiffre disponible. On replace donc le bit à 0 ET on rajoute 1 dans la case juste à gauche.
- 0 10 = 000 2
- 1 10 = 001 2
- 2 10 = 010 2
- 3 10 = 011 2
- 4 10 = 100 2
- 5 10 = 101 2
- 6 10 = 110 2
- 7 10 = 111 2
- Nombre de valeurs disponibles en base 2
- Le nombre de possibilités est 28 = 256
- On peut alors stocker des valeurs partant de 0 jusqu'à 255 inclus.
Des chiffres. Chacun d'entre eux se nommant un bit. Combien et lesquels ?
Base 2 donc 2 CHIFFRES : 0 ou 1 .
| Le poids de cette case est | 8 | 4 | 2 | 1 |
| qu'on peut écrire sous la forme | 23 | 22 | 21 | 20 |
Exemple avec 3 bits :
En binaire, si on dispose de X cases pouvant accueillir un bit, le nombre de valeurs possibles est 2X.
Attention : dans la mesure où le premier cas est 0, la valeur maximale est donc 2X - 1
Exemple : si on dispose de 8 bits
4 - Octet
4.1 - Octet : binaire vers décimal
Un octet est un ensemble de 8 bits successifs.
Puisqu'il contient 8 bits, un octet possède 28 (soit 256) valeurs différentes, de 0 et 255.
Sous forme binaire, un octet est donc compris entre 0000 0000 2 et 1111 1111 2.
Partant d'un bit de poids faible valant 20, on obtient donc un bit de poids fort pesant 27, soit 128.
| Poids | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Poids | 27 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 |
Considérons l'octet M suivant, M = 1010 1011 .
| Nombre M = | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| Les bits codent | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| On obtient donc | 128 | 32 | 8 | 2 | 1 |
D'où la valeur de M en base 10 : M = 128 + 32 +8 + 2 + 1 = 171 .
On peut donc écrire que M = ( 171 ) 10 = ( 1010 1011 ) 2
Voici unconvertisseur automatique d'OCTET que vous pourrez utiliser en cas de doute :
Votre nombre binaire M :
| Nombre M = | ||||||||
| Les bits codent | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| On obtient donc |
D'où la valeur de M en base 10 : M = = .
03° Donner, en la justifant, la valeur décimale de ces octets dont on donne la valeur binaire :
- Octet A :
0100 1000 - Octet B :
1000 0011 - Octet C :
1111 1111
...CORRECTION...
- Octet A :
0100 10002 = 72 10 - Octet B :
1000 00112 = 131 10 - Octet C :
1111 11112 = 255 10
En effet : 64 + 8 = 72
En effet : 128 + 2 + 1 = 131
En effet : 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255
Dans l'autre sens, ce n'est pas plus compliqué lorsque le nombre n'est pas grand : il suffit d'activer progressivement les bits de poids forts nécessaire pour encoder le nombre.
1.2 - Octet : décimal vers binaire, méthode intuitive
Nous allons présenter ici la méthode de l'activation progressive.
On active progressivement les bits en commençant systématiquement par le bit le plus grand nécessaire pour encoder correctement le nombre entier.
Exemple avec 121
Pour obtenir une correction pas à pas étape par étape, vous pouvez suivre le déroulé ci-desous.
...Déroulé pas à pas...
| Nombre M = | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| Les bits codent | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Le bit associé à 128 est inutile : on le place à 0.
On active par contre le bit associé à 64 qu'on place à 1.
Il nous reste donc 121 - 64 = 57 à encoder.
| Nombre M = | 0 | 1 | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| Les bits codent | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
On active donc le bit de 32. Et il reste 57 - 32 = 25 à encoder.
| Nombre M = | 0 | 1 | 1 | ? | ? | ? | ? | ? |
| Les bits codent | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
On active donc le bit de 16. Et il reste 25 - 16 = 9 à encoder.
On active donc le bit de 9. Et il reste 9 - 8 = 1 à encoder : il suffit d'activer le bit de poids faile et c'est fini. On sait qu'on peut placer les autres à 0.
| Nombre M = | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| Les bits codent | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
04° En activant progressivement les bits de poids fort nécessaires, trouver l'encodage binaire des entiers suivants :
- Octet D : 37
- Octet E : 72
- Octet F : 123
1.3 - Octet : décimal vers binaire, méthode systématique
La méthode de la division euclidienne par deux est plus systématique. Elle consiste à diviser le nombre par deux jusqu'à atteindre un résultat de 0.
Les restes de la division euclidienne vont fournir les valeurs des bits.
- On effectue la division euclidienne de 132 par 2. On obtient un reste de 0 et un résultat de 66.
- On effectue la division euclidienne de 66 par 2. On obtient un reste de 0 et un résultat de 33.
- On effectue la division euclidienne de 33 par 2. On obtient un reste de 1 et un résultat de 16.
- ...
On continue jusqu'à avoir un résultat de 0.
Comment obtenir la décomposition ?
En partant du bas pour le bit de poids fort et en remontant vers le haut jusqu'au bit de poids faible :
On peut alors écrire que 132 10 = 1000 0100 2.
05° En utilisant la méthode de la division par deux, trouver l'encodage binaire des entiers suivants :
- Octet D : 37
- Octet E : 72
- Octet F : 123
5 - Exemples d'encodage
Un octet possède 256 valeurs différentes.
Lorsqu'on veut mémoriser une information en machine, il suffit donc d'attribuer une valeur à une information.
Cela se nomme un encodage.
Les techniques d'encodage n'ont rien de secret : elles doivent être connue et diffusée de façon à pouvoir encoder puis à décoder.
Ne confondez pas encodage et chiffrement/cryptage.
5.1 Encodage d'un entier naturel
La première utilisation de l'octet est bien entendu la mise en mémoire d'un nombre entier naturel de 0 à 255 inclus.
5.2 Encodage d'un caractère
Un autre exemple: l'encodage de caractères, dont toutes les versions sont compatibles avec les valeurs de l'encodage ASCII pour les valeurs inférieures à 128.
En ASCII, la lettre A est encodé par un octet valant 65, le B par 66...
Voici un court extrait de cette table d'encodage :
| _0 | _1 | _2 | _3 | _4 | _5 | _6 | _7 | _8 | _9 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 6_ | < | = | > | ? | @ | A | B | C | D | E |
| 7_ | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O |
| 8_ | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y |
| 9_ | Z | [ | \ | ] | ^ | _ | ` | a | b | c |
| 10_ | d | e | f | g | h | i | j | k | l | m |
| 11_ | n | o | p | q | r | s | t | u | v | w |
On voit que
- le signe inférieur < est encodé par le nombre 60,
- le A par le nombre 65,
- le a par 97 ...
Avec ce type d'encodage de caractères sur un octet, on ne peut donc représenter que 256 caractères différents.
5.3 Encodage des couleurs
Un dernier exemple : l'encodage des couleurs. Vous avez peut-être vu en seconde que les pixels sont composés d'une composant R pour Red, G pour Green et B pour Blue.
Chaque composante est une valeur est stockée dans un octet. On dispose donc de 256 nuances de la couleur, variant de 0 à 255.
Un pixel prend donc une place mémoire de 3 octets.
Si on rajoute une couche de transparence, on lui attribue également un octet, pour atteindre un poids de 4 octets par pixel.
Voici les intensités de rouge pour des valeurs comprises entre 0 et 255. Vous allez voir que cela suffit car l'oeil humain ne peut déjà pas distinguer des intensités de valeurs proches.
| Valeur | Visuel | Valeur | Visuel | Valeur | Visuel |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 85 | 170 | |||
| 1 | 86 | 171 | |||
| 2 | 87 | 172 | |||
| 3 | 88 | 173 | |||
| 4 | 89 | 174 | |||
| 5 | 90 | 175 | |||
| 6 | 91 | 176 | |||
| 7 | 92 | 177 | |||
| 8 | 93 | 178 | |||
| 9 | 94 | 179 | |||
| 10 | 95 | 180 | |||
| 11 | 96 | 181 | |||
| 12 | 97 | 182 | |||
| 13 | 98 | 183 | |||
| 14 | 99 | 184 | |||
| 15 | 100 | 185 | |||
| 16 | 101 | 186 | |||
| 17 | 102 | 187 | |||
| 18 | 103 | 188 | |||
| 19 | 104 | 189 | |||
| 20 | 105 | 190 | |||
| 21 | 106 | 191 | |||
| 22 | 107 | 192 | |||
| 23 | 108 | 193 | |||
| 24 | 109 | 194 | |||
| 25 | 110 | 195 | |||
| 26 | 111 | 196 | |||
| 27 | 112 | 197 | |||
| 28 | 113 | 198 | |||
| 29 | 114 | 199 | |||
| 30 | 115 | 200 | |||
| 31 | 116 | 201 | |||
| 32 | 117 | 202 | |||
| 33 | 118 | 203 | |||
| 34 | 119 | 204 | |||
| 35 | 120 | 205 | |||
| 36 | 121 | 206 | |||
| 37 | 122 | 207 | |||
| 38 | 123 | 208 | |||
| 39 | 124 | 209 | |||
| 40 | 125 | 210 | |||
| 41 | 126 | 211 | |||
| 42 | 127 | 212 | |||
| 43 | 128 | 213 | |||
| 44 | 129 | 214 | |||
| 45 | 130 | 215 | |||
| 46 | 131 | 216 | |||
| 47 | 132 | 217 | |||
| 48 | 133 | 218 | |||
| 49 | 134 | 219 | |||
| 50 | 135 | 220 | |||
| 51 | 136 | 221 | |||
| 52 | 137 | 222 | |||
| 53 | 138 | 223 | |||
| 54 | 139 | 224 | |||
| 55 | 140 | 225 | |||
| 56 | 141 | 226 | |||
| 57 | 142 | 227 | |||
| 58 | 143 | 228 | |||
| 59 | 144 | 229 | |||
| 60 | 145 | 230 | |||
| 61 | 146 | 231 | |||
| 62 | 147 | 232 | |||
| 63 | 148 | 233 | |||
| 64 | 149 | 234 | |||
| 65 | 150 | 235 | |||
| 66 | 151 | 236 | |||
| 67 | 152 | 237 | |||
| 68 | 153 | 238 | |||
| 69 | 154 | 239 | |||
| 70 | 155 | 240 | |||
| 71 | 156 | 241 | |||
| 72 | 157 | 242 | |||
| 73 | 158 | 243 | |||
| 74 | 159 | 244 | |||
| 75 | 160 | 245 | |||
| 76 | 161 | 246 | |||
| 77 | 162 | 247 | |||
| 78 | 163 | 248 | |||
| 79 | 164 | 249 | |||
| 80 | 165 | 250 | |||
| 81 | 166 | 251 | |||
| 82 | 167 | 252 | |||
| 83 | 168 | 253 | |||
| 84 | 169 | 254 | |||
| 85 | 170 | 255 |
Nous retrouverons cette notion d'octets dans beaucoup d'activités. Nous verrons ainsi plus dans le détail l'encodage et la taille nécessaire pour placer en mémoire un texte, une image ou une vidéo.
6 - Sous-unités de l'octet
Il existe deux types de sous-unités de l'octet mais seul le premier est couramment utilisé dans la description des produits.
Sous-unités à connaître
Il s'agit des sous-unités utilisées en sciences physiques par exemple :
| Sous-unité | Valeur en décimal | Pourquoi ? |
|---|---|---|
| Un kilo (k) représente 103 | 1 000 |
|
| Un Méga (M) représente 106 | 1 000 000 |
un million, soit 1000 x 1 000 |
| Un Giga (G) représente 109 | 1 000 000 000 |
un milliard, soit 1000 x 1 000 000 |
| Un Téra (T) représente 1012 | 1 000 000 000 000 |
mille milliards, soit 1000 x 1 000 000 000 |
On voit donc que chaque sous-unité représente 1000 fois plus que la précédente.
Autres sous-unités que vous pourriez rencontrer
Avant 1998, un ko voulait dire 1024 octets. Aujourd'hui, 1 ko veut bien dire 1000 octets. Si on veut parler d'un kilo-octet valant 1024 octets, on parle de kio plutôt que de ko.
Aujourd'hui 1 ko = 1000 o
Aujourd'hui 1 kio = 1024 o
Le système précédent est basé sur la base 10. En informatique, on travaille en base 2 puisqu'on est en binaire. Il existe donc une façon plus 'naturelle' de définir les relations entre les unités. Naturelle pour un ordinateur, moins pour les humains...
Pour les distinguer des autres unités, on rajoute un i à la fin.
| Sous-unité | Valeur en décimal | Pourquoi ? |
|---|---|---|
| Un kilo (ki) représente 210 | 1 024 |
|
| Un Méga (Mi) représente 220 | 1 048 576 |
Presque un million, 1024 x 1024 |
| Un Giga (Gi) représente 230 | 1 073 741 824 |
Presque un milliard, soit 1024 x 1 048 576 |
| Un Téra (Ti) représente 240 | 1 099 511 627 776 |
Presque mille milliards, soit 1024 plus que 1 Gi |
On voit donc que chaque sous-unité représente 1024 fois plus que la précédente.
06° On considère un texte de 200 000 caractères. Calculer le nombre d'octets nécessaires à son stockage
- en octets (o),
- en bits,
- en ko (ko)
- en Mo (Mo)
...CORRECTION...
200 000 caractères donnent donc nbr_octets = 200 000 o.
Comme un octet est composé de 8 bits, nous obtenons :
nbr_bits = 200 000 * 8, soit nbr_bits = 1 600 000 b.
Pour obtenir le poids en ko, il suffit de diviser ce nombre par 1000 :
nbr_octets = 200 000 / 1000, soit nbr_octets = 200 ko.
Pour obtenir le poids en Mo, il suffit de diviser le nombre d'octets par 1 000 000 ou le nombre de ko par 1000 :
nbr_octets = 200 000 / 1 000 000, soit nbr_octets = 0.2 Mo.
nbr_octets = 200 ko / 1000, soit nbr_octets = 0.2 Mo.
7 - Petit historique du stockage
La carte mère de votre ordinateur possède deux types de mémoire :
- la mémoire morte (fixée par le constructeur et permettant le démarrage et l'utilisation de l'ordinateur) et
- la mémoire vive (rapide d'accès mais qui disparaît à chaque fois qu'on éteint le système).
Ces deux mémoires ont une taille limitée.
Si l'on veut stocker ou partager de grandes quantités de données, il faut donc un autre type de dispositif, une mémoire de masse : disques durs, clés USB... Nous allons parler de ces dispositifs, anciens et récents, dans cette partie.
La carte perforée (≈ 1930)
Cette carte est l'héritière des bandes perforées utilisées dans les métiers à tisser, les pianos et les orgues de Barbarie. Le créateur initial du système de bandes est le français Basile Bouchon en 1725.
Les cartes perforées sont les premiers systèmes de mémoire de masse et de communication (entrée/sortie) qui ont été utilisés au début des systèmes informatiques.
En 1928, IBM dépose le brevet de la carte dite 80 colonnes qui sera la plus utilisée.
Carte perforée
- Date d'introduction : vers 1930
- Ordre de grandeur du stockage mémoire : 100 octets par carte (20 cm de long).
- Ordre de grandeur du débit de lecture : 100 octets par seconde.
La bande magnétique (≈ 1950)
En 1950, l'apparition de la bande magnétique va rapidement mettre le stockage précédent à la retraite. La bande magnétique n'existe plus dans l'informatique domestique mais reste encore très utilisée dans les centres de stockage professionnels.
Il s'agit d'une bande plastique d'environ 1,5 cm de largeur sur laquelle on place une poudre d'oxyde de Fer (Fe2O3) qui a comme propriété de pouvoir rester aimantée une fois soumise à un champ magnétique. C'est ainsi qu'on créé le 1 et le 0 : en fonction de l'aimantation du petit secteur qu'on teste.
En 1951 l'UNIVAC était ainsi muni de bandes magnétiques.
Le principal problème ? Il faut dérouler la bande pour arriver à l'endroit voulu. On dit que l'accès est séquentiel : il faut parcourir la bande dans l'ordre. Ca peut être très long si l'information voulue est plutot en fin de bande !
Bande magnétique
- Date d'introduction : vers 1950
- Ordre de grandeur du stockage mémoire : 40 octets par cm de bande au début, beaucoup plus aujourd'hui.
- Ordre de grandeur du débit de lecture : environ 2 ko par seconde au début, jusqu'à 2 Mo par seconde aujourd'hui.
La bande magnétique reste une référence en terme d'archivage de données car elle est moins chère qu'un disque dur. Autre avantage non négligeable : les erreurs d'écriture (un 0 qui se transforme en 1 ou inversement) sont 1000 fois moins nombreuses sur bande magnétique.
L'une des versions grand public de cette technologie est bien entendu la cassette :
Le disque dur (hard drive) (≈ 1955)
Nous restons sur un principe de fonctionnement électro-magnétique avec stockage magnétique.
Comme pour les bandes magnétiques :
- écriture : on crée un courant électrique qui modifie les propriétés magnétiques de la partie voulue du disque.
- lecture : on détecte les propriétés magnétiques de la zone voulue du disque car lorsque la tête de lecture passe au dessus, il y a création d'un courant électrique (état 1) ou non (état 0)
La différence fondamentale ? Il ne s'agit pas de bandes mais de disques qui tournent. L'information est répartie par secteur sur tout le disque : pour atteindre la zone voulue, il suffit donc au pire d'attendre que le disque ai fait un tour. C'est plus rapide que de rembobiner toute la bande.
En 1956, la société IBM crée un premier disque dur de 5 Mo. L’ensemble mesurait alors 1,52 x 1,73 x 0,74 m !
Disque dur (Hard Drive)
- Date d'introduction : vers 1955
- Ordre de grandeur du stockage mémoire : le Mo au début, le To aujourd'hui.
- Ordre de grandeur du débit de lecture : plusieurs centaines de Mo par seconde aujourd'hui.
C'est à partir des années 1990 que le prix et la taille des disques durs leur permettent d'être présents dans tous les ordinateurs personnels. Et à l'époque, les disques durs étaient internes. Pour transporter un programme ou des informations d'un ordinateur à l'autre, il fallait donc autre chose...
Sans Internet, on utilisait... des disquettes pour transporter l'information d'un ordinateur à un autre.
Le floopy disk ou disquette (disque souple) (≈ 1970)
Une petite révolution cette disquette : dès les années 1960 (et avant la démocratisation des disques durs) on cherche à remplacer le disque dur par un système moins cher et moins lourd.
En 1967, IBM crée la première disquette, capable de contenir environ 80 000 caractères. Elle devait permettre par exemple de transmettre des mises à jour sans Internet. Peu à peu, la disquette remplacera la bande perforée.
Disquette (floppy disk)
- Date d'introduction : vers 1967
- Ordre de grandeur du stockage mémoire : la dizaine de ko au début (80 ko), le Mo ensuite (jusqu'à 3 Mo).
- Ordre de grandeur du débit de lecture : plusieurs centaines de ko par seconde.
Belle révolution qui a permis le transfert d'informations de façon aisée.
Mais la disquette n'a pas survecu à la démocratisation des disques (CD, DVD, Blueray), d'Internet, des disques durs externes puis des clés USB.
Les disques CD(≈ 1980) - DVD(≈ 2000) et Blu-ray(≈ 2010)
Il s'agit de dispositifs optiques, tous basés à peu près sur le même principe d'un rayon laser qui parvient ou pas à traverser une zone opaque pour lui, ou pas.
CD / DVD / Blu-ray
- Date d'introduction : vers 1990, 2000 et 2010
- Ordre de grandeur du stockage mémoire :
- 700 Mo pour le CD,
- 8500 Mo pour le DVD et
- 128000 Mo pour le Blu-ray.
- Ordre de grandeur du débit de lecture : 8 Mo par seconde.
Mémoires Flash : cartes(≈ 1990) et USB(≈ 2000)
Avec ces dispositifs, on change de technologie : jusqu'à présent, on avait un stockage de masse magnétique avec partie mécanique mobile pour enrouler ou faire tourner.
La technologie Flash est basée sur l'utilisation de transistors MOS, il s'agit donc d'un stockage purement électronique, sans aucune partie mobile.
La plupart des clés USB et les cartes SD sont issues de cette technologie.
Ces dispositifs sont extrémement pratiques car on peut en trouver une grande variété en terme de taille de stockage : de quelques centaines de Mo à 1 To.
Attention aux bonnes affaires apparentes : pensez toujours à vérifier la vitesse de lecture et d'écriture. Avoir une clé de grande capacité c'est bien. S'il faut 9 jours pour la remplir, c'est nettement moins pratique !
L'USB 2.0 peut avoir une vitesse autour de 25 Mo.s-1.
L'USB 3.0 peut avoir une vitesse autour de 300 Mo.s-1.
L'USB 4.0 peut avoir une vitesse autour de de 40 Go.s-1.
On trouve également des objets ayant la forme d'une clé USB mais contenant plutôt un mini disque dur. On parle alors de flash disk, de microdrive ou de disque dur externe.
Les escrocs ont su profiter de l'attrait de la clé USB. On peut y mettre ce qu'on veut et lancer des programmes automatiquement lorsqu'on connecte la clé sur un ordinateur. Sachant que la difficulté n°1 est d'infecter un premier ordinateur lorsqu'on veut rentrer illégalement sur un réseau, l'arnaque consiste à laisser par terre une clé USB infectée du virus voulu. Qui peut résister et tenter de voir à qui appartient la clé ? Rajoutez une petite étiquette intrigante et vous êtes presque certain que quelqu'un finira par brancher la clé sur son ordinateur. Le facteur humain est souvent le point faible du réseau informatique !
Activité publiée le 28 08 2019
Dernière modification : 29 09 2019
Auteur : ows. h.